viernes, 10 de febrero de 2012

Wolfskhel y el suicidio inconcluso

Era invierno. El famoso invierno alemán de 1908. Ottilia Meiers no paraba de recibir cartas de amor de él, su apasionado candidato, pero ella tenía otros planes para su vida. Prefería comprometerse con un acomodado industrial antes que con un obsesivo (pero apasionado) matemático. La noticia del rechazo fue para Paul Wolfskhel la peor de todas. No pudo soportar semejante dolor y tomó la decisión de acabar con su vida. Como buen matemático que era, planeó todo a la perfección: se pegaría un tiro en la cabeza el Lunes 10 de Diciembre a las 0 horas. En los días previos dejó todo acomodado: testamento, trabajo, etc. Fue tan eficiente que terminó los quehaceres presuicidio ese mismo Lunes al mediodía. Como buen obsesivo que era, había planeado suicidarse a las 0 horas y los planes se hacían para cumplirlos. Así es que se sentó a esperar que llegue la hora leyendo un libro de Teoría de Números. En particular, de la historia del último teorema de Fermat. Y como tenía tiempo intentó una demostración. Y como era buen matemático, logró demostrarlo para un caso especial (el número 7). Y se sintió realmente felíz por ello. Tanto que decidió posponer su suicidio para otro momento y dedicó el resto de su vida a intentar una demostración más general del gran teorema de Fermat.

jueves, 9 de febrero de 2012

La pasión según Evariste Galois

Murió por su amada en un duelo contra un oficial del ejército. Tenía 21 años. Y en tan poco tiempo cambió para siempre el rumbo de las matemáticas.

Evariste Galois nació en 1811 en la ciudad francesa de Bourg la Reine y a los once años ya demostraba tener capacidad para las matemáticas. Mucha. Demasiada. Tanta que en plena adolescencia creó la Teoría de Grupos y, así, cambió la forma de razonar el álgebra y de trabajar con operadores y conjuntos.

Pero él tenía una pasión tan grande aún como la matemática. Se llamaba Stephanie Poterin du Motel y era apenas unos años más grande que Evariste. Y era su amada. Su musa inspiradora.

Evariste vivió sus dos pasiones con la misma intensidad que duró apenas unos pocos años. Porque descubrió que Stepahnie tenía un amante. Y no pudo soportarlo. Y su pasión le hizo tomar una trágica decisión. Stephanie sería para él o para nadie y entonces lo batió a duelo. No había otro modo en el espíritu de Galois. A todo o nada.

El 30 de Mayo de 1832 el oficial Pecheux d´Herbinville, con un certero disparo al abdomen, le dio ingreso a la inmortalidad.

En su epitafio se lee: “sin saber aún si la pasión es racional o irracional, pero con la certeza de que has sentido y has vivido”

jueves, 10 de diciembre de 2009

Sobre la Regla de Barrow


“¿Cómo hago?” se preguntaban los matemáticos anteriores al siglo XVII cuando se enfrentaban a la odisíaca tarea de hallar el área comprendida entre una curva cualquiera (con la cualidad de ser integrable, obviamente) y el eje de absisas de un sistema cartesiano.
Probaban y probaban, algunos con mucho ingenio. Pero todas las estrategias de ataque al problema terminaban arrojando errores de cálculo, tanto por defecto como por exceso.
Pero un día llegó el doctor, manejando un cuatrimotor, ¿y saben lo que pasó? Junto al doctor venía el reverendo Isaac Barrow, quien en su facebook declaraba: nacido en Londres en 1630, de profesión teólogo y matemático, y viviendo una situación sentimental con alguien (sin aclarar el sexo de alguien).
Maestro de su tocayo Isaac Newton, Don Barrow se había interesado por el cálculo y la geometría. Entre sus numerosos aportes al cálculo (se lo considera uno de los padres del cálculo moderno) se encuentran el Primer y Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral; este último conocido, con justicia, como Regla de Barrow.
El Primer Teorema Fundamental aliviaría sobremanera la ingesta diaria de cafiaspirinas de los matemáticos buscadores de áreas. ¿Porqué? se preguntarán. Por que el Teorema en cuestión establece una relación bidireccional, crucial en matemáticas, que dice así: la diferenciación y la integración de una función son operaciones inversas una de la otra. Vale decir que, si se desea conocer la integral de una función “f” escalar (trabajando en R1 es más fácil el concepto), basta con hallar una función “F” (que también será escalar), tal que su derivada sea igual a “f”.
“¿Y para qué me sirve eso a mí, fiera?” Se preguntaban los impacientes matemáticos.
Les servía porque Don Isaac, unos meses más tarde, sentenció el Segundo Teorema Fundamental: el área bajo la curva que genera la imagen de una función escalar integrable, comprendida entre los valores “a” y “b” (con “a” menor que “b” y ambos reales), es igual a la integral de f evaluada en “b”, menos la integral de f evaluada en “a”; y esto gracias al Primer Teorema Fundamental se traduce de la siguiente manera: la primitiva de f evaluada en “b”, menos la primitiva de f evaluada en “a”.
Cuenta la leyenda que tiempo más tarde, a raíz estos descubrimientos, Don Isaac se hizo tan famoso que participó en Bailando por un sueño e hizo una temporada de verano en Villa Carlos Paz. Demasiado para un espíritu ermitaño.
En el siglo XIX, el alemán Bernardito Riemann generalizó todos estos conceptos para funciones en espacios vectoriales Rn, de dimensión “n” mayor o igual a 3, permitiendo con ello, en el caso de n = 3, calcular el área comprendida entre un sólido, un par de vectores en R3 (como límites de integración) y un octante, en un sistema tridimensional.
Esta generalización de Riemann es conocida como integral múltiple o Suma de Riemann (en alusión a la estrategia con la que trabajó Bernardo).






Y posteriormente se generalizó aún más el concepto para el caso de áreas comprendidas entre n sólidos o entre n sólidos y algún(os) octantes, con límite de integración dependiente de alguna(s) variable(s).


miércoles, 4 de noviembre de 2009

Sobre la Regla de Bernoulli

“Yo le daré con placer a usted una pensión de 300 libras,
la cual comienza desde el 01 de Enero del presente año. Y le
mandaré 200 libras para la primera parte del año, por las revistas
que Ud. ha mandado. Y le daré otras 150 libras por la
otra parte del año y así en el futuro. Le prometo incrementar
estas pensiones pronto, pues reconozco que son moderadas, y
lo haré tan pronto como mis negocios sean menos confusos.
Yo no soy tan irrazonable como para pretender de usted todo
su tiempo, pero sí pretendo que de él me de ocasionalmente
algunas horas para trabajar en lo que le pregunte, y también,
para que me comunique sus descubrimientos, con la condición
de no nombrarlos a otros. También le digo que no envíe
ni a Varignon ni a otros copias de estas notas, pues no me
agradará. Envíeme su respuesta a todo esto y créame:

Monsieur tout a vous

LE M. DE L'HOSPITAL"


Con estas palabras (fechadas el 17 de Marzo de 1694) Guillermo de L´Hospital compró los trabajos y el silencio de Juan Bernoulli.
Guillermo Francisco Antonio de L´Hospital: Marqués de Saint Mesme, Conde de Autremont y Señor de Ouques, nació en París en 1661 y falleció en la misma ciudad, en 1704. Fue un matemático aficionado que publicó diversos trabajos sobre Cálculo, pero sus aspiraciones lo llevaron a la deshonra.
Juan Bernoulli nació en Basilea en 1667 y falleció en París en 1747. Décimo hijo de un farmacéutico acaudalado, desistió del influjo paterno para dedicarse a la administración de la empresa y se dedicó a la matemática realizando numerosos trabajos, muchos de los cuales han sido de vital importancia para el progreso de esta ciencia. Joven, recien casado y agobiado por su situación económica se vió obligado a aceptar la indecorosa propuesta de L´Hospital.
En 1696 se publicó la obra de este último: “Análisis de puntos infinitesimales para la comprensión de líneas curvas”. La misma estaba dividida en diez secciones. En la novena de ellas aparece la regla la falsamente conocida como Regla de L´Hospital:

“Para hallar el valor de una expresión racional en x que para un valor de abcisa dada, x toma la forma 0/0, se determina el cociente de las diferencias del numerador y del denominador para este valor de la abcisa” (luego este resultado se generalizó para los casos de ∞/∞).

En 1704, ante la muerte de L´Hospital y considerandose entonces libre para hacerlo, Bernoulli realizó una serie de declaraciones públicas de sus resultados, en particular de la regla en cuestión haciendo masiva la verdadera identidad de su creador: él mismo. Pero pocos le creyeron y este importante teorema continuó atribuyendose injustamente al marqués.
El tiempo fue el peor enemigo de Bernoulli porque fue recién en el año 1922 cuando la verdad salió a la luz, al aparecer un manuscrito suyo sobre Cálculo Diferencial fechado en 1691 en el que figura la regla. El de L´Hospital data de 1696, 5 años más tarde.
Hoy en día se la sigue llamando regla de L´Hospital.
Cuanta injusticia.

viernes, 23 de octubre de 2009

De planos, campos y otras yerbas...

Acá una historia de las miserias y verdades en la ciudad de la furia...

En el edificio donde viven las funciones ordinarias (también conocidas como funciones reales de variable real o, simplemente, funciones escalares) las pibas del 4° F tienen una propiedad que sus vecinas envidian sobremanera. Y es que son derivables.
Las solteronas y monótonas del 8° A les tienen tanto rencor que cuando se las cruzan en el pallier, susurran socarronamente: "ja, por lo menos a mí no me aproxima ninguna recta chiruza".
Y es que "las pibas", al ser derivables, tienen la cualidad de que existen infinitas líneas rectas que pasan por cada uno de sus puntos. En particular, algunas de ellas las tocan en el punto. Es decir, les son tangentes en ese punto.
¿Y que cualidad tienen esas rectas tangentes? Que su pendiente esta dada por la derivada de la función y, además, que representan la mejor aproximación a la función en un entorno de ese punto. Es decir, muy cerca de ese punto la función y la recta tienen el mismo valor. “Chupate esa” diría Jorge Corona.
Esta propiedad se llama diferenciabilidad de la función y asegura que la función que es diferenciable es pausible de ser aproximada por una línea recta que le es tangente y cuya pendiente esta dada por la derivada de la función. Y esto es muy fuerte como para no despertar la envidia de las monótonas del octavo.
Formalmente:
(Condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad)
Sea F una función escalar: R en R
Hip - F es derivable en un entorno (a,b) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b)
Y viceversa. Es una bicondicional.

En el edificio de al lado la cosa es aún más elitista porque viven las funciones reales de variable vectorial o, simplemente, campos escalares. Y los señoritos siempre bien vestidos y perfumados del 2° B son motivo de constante chusmerío, hasta incluso de los campos escalares derivables. ¿Porque? Por que estos muchachos son diferenciables y, por lo tanto, aproximables. Pero esta vez no por una recta sino por un plano, llamado plano tangente, atento a que los campos escalares estan deifinidos, como mínimo, en tercera dimensión.
Más general. Si un campo escalar es derivable no necesariamente ha de ser diferenciable. En el caso que sí lo sea, seguro su mejor aproximación en un punto es un plano tangente al campo, en ese punto. De otro modo, de todos los planos que pasan por ese punto, el que más se asemeja al valor del campo en un entorno del punto, es el que resulta ser tangente en ese punto.
¿Qué condición debe cumplir un campo escalar para ser diferenciable? Que sus derivadas parciales sean contínuas.
Y llendo un poco más lejos. El gradiente del campo evaluado en un punto es ortogonal al plano tangente en ese punto.
Y un poco más. El gradiente en un punto es ortogonal, también, al plano tangente en el punto a la superficie de nivel c del campo.
Formalmente:
(Condición suficiente de diferenciabilidad)
Sea F un campo escalar: Rn en R
Hip - F admite derivadas parciales contínuas en un entorno (a,b,….,n) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b,….,n)

Muchas cualidades como para no ser envidiadas, digamos la verdad.

miércoles, 30 de septiembre de 2009

Oia...una recta horizontal

Teniendo presente que el hombre era abogado, no podemos más que sacarnos el sombrero cuando nos enteramos que fue él quien creó el concepto de "derivada".
Nada más viendo el gráfico de una función periódica Pierre de Fermat notó que en los máximos y mínimos de esa función se podían trazar líneas tangentes a la curva cuya cualidad consistía en ser horizontales.
Y así nomás, como quien no quiere la cosa, el hombre se mandó un estudio sobre la diferenciación de las funciones y creó el concepto de derivada.
Y este fue sólo uno de los tantos aportes de este abogado a la matemática...
Chapeau Fermat...

martes, 7 de octubre de 2008

Es así...

Estan ahí. Las demostraciones a los teoremas (de aquellos que las tienen) estan flotando en el eter, ocultas. Los encadenados lógicos y los artilugios estan presentes pero son invisibles.
El proceso de demostración consiste en ir quitando la nieve que los tapa para dejarlos a la vista de todos.

martes, 30 de septiembre de 2008

Orígen de la probabilidad

Era la primera mitad del siglo XVII.
El era un abogado frances que se desempeñaba como juez en la ciudad de Toulouse.
En sus ratos libres dezplegaba su facinación y su lúcidez garabateando teoremas que luego enviaba a los matemáticos de su época (Pascal, Mersenne, Descartes, etc) en forma de desafio para que encontraran las demostraciones.
Aunque no lo crean, ésta vez no hablamos de Carlitos Gauss.
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Su intercambio de cartas con Blas Pascal fue la única vez que Pierre de Fermat discutió sus ideas con alguien distinto a Mersenne. Lo hizo porque le interesaba sobremanera la invitación que le había hecho Pascal para pensar juntos un tema que éste tenía en sus manos y que era totalmente novedoso en lo que a conocimiento matemático se refería. Hay que decir la verdad: Fermat era un ermitaño, pero no todos los días pasa que alguien lo invita a uno a crear la Teoría de la Probabilidad....así que el gran Pedro accedió.

El problema que Pascal tenía en sus manos lo había recibido de un apostador profesional parisino llamado Antoine Gombaud, que le había acercado un problema surgido de un juego de azar llamado puntos. Gombaud estaba jugando una partida de puntos con otro apostador cuando tuvieron que abandonar el juego por un causa urgente. Surgió entonces el problema de qué hacer con el dinero del premio. La solución sencilla hubiera sido darle todo el dinero al jugador con más puntos, pero Gombaud le preguntó a Pascal si había una manera más justa de dividir el dinero. Le pidió que calculara la probabilidad de que cada uno de los jugadores ganara en caso de que el juego hubiera continuado. El dinero del premio podría dividirse entonces de acuerdo con el cálculo de esas probabilidades.
Antes del siglo XVII las leyes de la probabilidad estaban regidas por la intuición y la experiencia de los apostadores, pero Pascal inició correspondencia con Fermat para descubrir las ecuaciones matemáticas que las describen.
Fermat analizó la pregunta de Gombaud y pronto se dio cuenta de que se trataba de un problema trivial que se podía resolver definiendo rigurosamente todos los posibles resultados del juego y asignándole una probabilidad individual a cada uno.

Contento el buen Antoine con el modelo probabilístico de Pascal-Fermat (en esa época todavía no existían las guerras de cartel, de modo que los muchachos no fueron a lo de Rial a pelearse por ver cual de los apellidos iba primero), se dirigió al otro jugador de puntos y le dijo:
- macho, aca los muchachos me dicen que si seguimos jugando te re gano, asi que hagamosla facil y yo me llevo la guita....

viernes, 5 de septiembre de 2008

Orígen del igual...

" Pondré, como hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o líneas gemelas de la misma longitud, así: =, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales."

Robert Recorde
(creador del símbolo =)

Albertito...

"Hazlo simple, tanto como sea posible, pero no más"

Albert Einstein